La ecuación diferencial ordinaria lineal de primer y segundo orden

Resumen

En este trabajo, se desarrolla el tema de las ecuaciones diferenciales lineales de primer y segundo orden. En el tratamiento teórico de este tema, presente en la bibliografía señalada en los programas de estudio (Boyce y DiPrima 2006, Simmons 1993), hay algunos puntos no debidamente justificados. Uno de estos es: cómo explicar que de la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, variando los parámetros, se pueda obtener una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea. Cómo justificar plenamente este método, ¿de dónde surge? En otro lugar de la teoría, la ecuación de Riccati casi no es considerada y en consecuencia se menosprecia su enseñanza. Sin embargo, mostraré que una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, tiene asociada una ecuación de Riccati que la caracteriza. Por esta razón, propongo un desarrollo teórico, alternativo de este tema, que tiene en cuenta lo antes expuesto, mediante la aplicación del cálculo diferencial e integral, y el álgebra lineal. La idea básica es como sigue: la ecuación diferencial lineal y la ecuación diferencial lineal homogénea asociada, determinan un sistema de ecuaciones diferenciales, el cual implícitamente, define una relación entre sus soluciones y, como se verá, es posible determinar la forma específica de tales soluciones y la manera en que están relacionadas.